第十一章 布朗运动
2019-05-23 18:092,208

  布朗运动描述了微小粒子受到肉眼看不见的水分子或气体分子的撞击而产生忽动 忽停运动的现象。植物学家罗伯特。布朗在浸润的显微镜载玻片上观察花粉颗粒时,首次发现了这种现象。随后,爱因斯坦用严密的数学方法对其进行了描述。布朗运动 是造成污染物在水体或大气中扩散的根本原因,它可以用于描述包括洪水和股票市场在内的许多随机过程。布朗运动的不可预测性与分形是相联系的。

  19 世纪,植物学家布朗在显微镜下观察花粉颗粒时,发现花粉颗粒并不是静止的,而是四处游动的。起初他误以为这些颗粒是有生命 的,但这个结论显然是不对的。花粉四处游动是由于不断受到载玻片上运动水分子的碰撞。花粉颗粒的运动方向是完全随机的,运动的距离时 而小,时而大,花粉颗粒是沿着无法预测的轨迹在载玻片上逐渐游动的。其他一些科学家对布朗这个以其名字命名的发现深感困惑。

  随机行走 布朗运动之所以会发生,是因为只要被水分子撞上,花 粉颗粒就受到了力的作用。在水溶液中,看不见的水分子时刻都在运动,彼此之间不断发生碰撞,所以也会频繁地撞上花粉。虽然花粉要比 水分子大上几百倍,但是花粉每时每刻都受到众多水分子的撞击,而且被撞方向是完全随机的。从而导致花粉受力不平衡,发生细微的运动。

  布朗运动对悬浮在液体或气体中的任何微小粒子都有影响。像烟气 颗粒这样较大的粒子同样也会有布朗运动,通过放大镜就能看到颗粒好像在空气中跳动。粒子所受碰撞力的大小与分子的动量有关。因此,如 果液体或气体中分子的质量较大,或者速度较快(如高温流体),颗粒所受的撞击力就较大。

  19 世 纪末 期,人 们 开始 致 力 于 从数 学 上 解 释布 朗 运 动。在爱因斯坦发表相对论和令他获得诺贝尔奖的对光电效应的阐述的同一年,即 1905 年,他发表了关于布朗运动的论文,引起了物理学家们的注意。爱因斯坦采用热学理 论(也是基于分子碰撞),成功地解释了布朗所观察到的颗粒的精确运动。其他物理学家看到布朗运动为流体中原子 的存在提供了证据,纷纷接受了原子理论。要知道,在 20 世纪初期,原子理论还是备受质疑的。

  扩散 随着时间的推移,颗粒会因布朗运动而移动相当一段距离。但这种移动不如其在不受任何阻碍,以直线运动时来得远。这是因为颗粒运动具有随机性,第一步的运动还是向前的,紧随的下一步向前还是 向后就难说了。所以,若将一组颗粒投入水中某处,无需任何搅拌和水流的辅助,颗粒自己就会扩散开来。每个颗粒都沿着自身的轨迹扩散, 由聚集状态变为分散状态。扩散过程对于污染源的分散是相当重要的,例如大气中气溶胶的扩散。在无需任何风力的情况下,化学物质就可以通过布朗运动扩散开来。

  分形 颗粒做布朗运动时的轨迹是分形的一个实例。路径上,每一 步的步长和方向都是不确定的,但最终会呈现出一种整体形状。在不同比例下,整体形状中含有各种尺寸的结构,从所能想象到的最小情况到 相当大的尽寸。而这正是分形的典型特点。

  分形是由伯努瓦。曼德布罗特(BenoitMandelbrot)于 20 世纪 60 或 70 年代定义的一种对自相似图形进行定量的方法。分形是分形维数的简称,它描述的是在任何放大倍数下看似完全相同的图案。如果放大 图案中尺寸较小的部分,我们就会发现它与尺寸较大的部分并无差异。

  所 以 只 是简 单 地 看 一眼 并 无 法 判断出放大倍数。这种重复的、无 穷 比 例 的图 案 在 自 然界 中 比 比皆是,例如褶皱状的海岸线、树 木 的 枝 杈、蕨类 植 物 的 叶片 以及六重对称性的雪花等。

  若 要 讨 论一 定 放 大 倍数 下的 长 度和 维 数,就 要 用到 分 形 维 数的 概 念 了。当 沿着 海 岸 线 测量 两 个 小 镇之 间 的 距 离时, 你 可 以 说陆 地 之 角(Land’s End)与芒特湾(Mount’s Bay)之间的距离是 30 千米。但如果 将小镇之间的每 块 岩 石 都考 虑 在 内,并 用细 线 量 出 它们 的 半果要量的不是岩石,而是海岸上的沙子,那么所需线的长度恐怕就要 达到几百公里了。因此,这里所说的绝对长度取决于测量时所采用的标度。如果做法粗糙一些,就又回到了之前的 30 千米了。从这个意义上说,分形维度测量的是粗糙度,像云彩、大树或山脉之类。许多分 形形状,例如海岸线的轮廓,都可以通过一系列的随机行走步骤得到。而随机行走与布朗运动是有关系的。

  根据布朗运动(随机运动序列)所衍生出的数学理论,可以得出许 多在科学领域得到广泛应用的分形图案。在计算机游戏中,可以用分形图案在背景上创建一些山脉、树林和云彩;在空间映射程序中,也可以 使用分形对粗糙地带的凹凸表面进行建模,用来帮助机器人引导自己顺利通过不平坦的地域。当医生们需要分析身体中复杂部位的结构时,例 如肺部诸多粗细不一的分支结构,就会发现该理论在医学成像上是非常有用的。

  在预测未来诸多随机事件所招致的风险和情况时,布朗运动同样有 用,例如洪水和股票市场的波动。股票市场可看作股票的组合,而股票价格就像布朗运动中分子的运动一样,是随机变化的。布朗运动也同样 适用于诸如生产和决策之类的社会过程建模。总之,随机的布朗运动并非仅能描述一杯热茶中茶叶的运动,它有着许多种表现形式,并产生广泛而深远的影响。

  看不见的微观舞动

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